[인과추론] 통제집단합성법과 수평 회귀분석

Q1. 통제집단합성법이란?

1. 목표:
• 최적화된 가중치 벡터 : $$\hat{\omega}^{s c}$$
: 실험군의 결과와 통제 집단의 결과를 조정하여 최대한 유사하게 만드는 가중치를 나타냄

2. 최적화 문제:
• 목표 함수 : $$\left\|\bar{y}_{p r e, t r}-Y_{p r e, c o} \omega_{c o}\right\|^2$$
• 목표: 이 제곱 오차를 최소화하는 가중치 벡터 $$\omega$$를 찾는 것이 목표
→ 즉, 통제 집단의 전처치 결과를 가중치 벡터를 이용하여 조정했을 때 실험군의 전처치 결과와 최대한 유사하게 만드는 가중치 벡터를 찾는 것

3. 설명:
• $$\bar{y}_{p r e, t r}$$ : 실험군의 전처치 평균 결과를 나타냅니다.
• $$Y_{p r e, c o}$$ : 통제 집단의 전처치 결과를 나타냅니다.
• $$\omega_{c o}$$ : 통제 집단의 전처치 결과에 적용할 가중치를 나타냅니다.
• $$\hat{\omega}^{s c}$$ : 이 최적화 문제를 해결하여 얻은 최적의 가중치 벡터입니다.

Q2. 선형회귀분석과 비교해본다면?

1. 목표
• 공변량 X와 결과 Y 간의 선형 관계를 모델링하고, 이 선형 모델을 통해 결과를 예측하는 것.

2. 최적화 문제
• 회귀 분석에서는 결과 Y와 공변량 X 간의 선형 조합으로 결과를 예측하고, 이 예측과 실제 결과 간의 제곱 오차를 최소화
→ 이 과정은 가중치 또는 회귀 계수를 추정하는 것

Q. OLS(최소제곱법)을 사용하여 가상의 대조군을 만들어보면?

1. 설명
• y_pre_co : 공변량 X 행렬
• y_pre_tr.mean(axis=1) : 결과 Y
• model.coef_ : 가중치(=회귀계수)
• y0_tr_hat : 가상의 대조군(=처치 받지 않았을 때 실험군의 평균적인 행동을 근사하기 위한 것)

Q4. 가상의 대조군을 포함한 결과는?

Q5. 관측된 결과와 가상의 대조군에 대한 결과를 비교해서ATT 추정을 해보면?

• 효과가 정점에 이르기까지 일정 시간이 걸리며, 그 후 점차 줄어듦.
예) 마케팅에서는 광고를 본 후 사람들이 행동으로 옮기기까지 시간이 필요하고, 이후 효과가 서서히 사라지는 신기 효과가 발생함.

• 개입 이전 기간의 ATT(OLS 모델의 잔차)가 0에 가까우면 좋음.
→ 하지만 믿을 수 없을 정도로 낮다면, OLS 모델이 과적합되었을 수 있음을 의미.